Correspondance d'un réel avec un point du cercle trigonométrique

À tout nombre réel \(x\), on peut associer un unique point du cercle trigonométrique de la manière suivante :

• si le réel \(x\) est positif, on parcourt une distance \(x\) sur le cercle trigonométrique dans le sens positif en partant du point \(\text{I}\) ;
• si le réel \(x\) est négatif, on parcourt une distance \(|x|\) sur le cercle trigonométrique dans le sens négatif en partant du point \(\text{I}\).
  

On associe alors au réel \(x\) le point \(\text{M}\) du cercle sur lequel on s'arrête et on note \(\text{M}(x)\). Inversement, à chaque point du cercle trigonométrique, on peut associer une infinité de nombres réels qui diffèrent les uns des autres d'un multiple de \(\color{blue}{2\pi}\). En effet, à partir d'un point donné du cercle trigonométrique, si l'on fait un nombre de tours complets dans un sens ou dans l'autre, on retombe sur le même point du cercle.
Ainsi, si un point \(\text{M}\) est associé à un réel \(x\), il est également associé à tous les réels de la forme \(x+k \times \color{blue}{2\pi}\), où \(k\) est un entier relatif.

Propriété

Soit \(x\) et \(x'\) deux réels.
S'il existe un entier relatif \(k\) tel que \(x-x'=k \times \color{blue}{2\pi}\), alors les réels \(x\) et \(x'\) sont associés au même point du cercle trigonométrique.

Exemples

• Le point \(\text{I}\) est associé au réel \(0\), mais aussi aux réels \(2\pi\), \(4\pi\), \(6\pi\)... si on parcourt le cercle trigonométrique dans le sens positif, et également aux réels \(-2\pi\), \(-4\pi\), \(-6\pi\) si on le parcourt dans le sens négatif.
  De manière générale, on associe au point \(\text{I}\) tous les réels de la forme \(k \times \color{blue}{2\pi}\) où \(k\) est un entier relatif.
• Le point \(\text{J}\) est associé au réel \(\dfrac{\pi}{2}\), mais aussi aux réels \(\dfrac{\pi}{2}+2\pi=\dfrac{5\pi}{2}\) ; \(\dfrac{\pi}{2}+4\pi=\dfrac{9\pi}{2}\)...\(\) si on parcourt le cercle trigonométrique dans le sens positif, et également aux réels \(\dfrac{\pi}{2}-2\pi=-\dfrac{3\pi}{2}\) ; \(\dfrac{\pi}{2}-4\pi=-\dfrac{7\pi}{4}\)...\(\) si on le parcourt dans le sens négatif.
  De manière générale, on associe au point \(\text{J}\) tous les réels de la forme \(\dfrac{\pi}{2}+k \times \color{blue}{2\pi}\) où \(k\) est un entier relatif.

Remarque

Considérons la droite \(d\) verticale d'équation \(x=1\).
On peut visualiser la correspondance entre un réel et un point du cercle trigonométrique à travers l'enroulement de cette droite \(d\) qui représente l'ensemble des réels sur le cercle trigonométrique.